Comment Savoir Si Un Nombre Est Divisible Par 7

Ceci est une liste de critères de divisibilité cascade des nombres écrits en base of operations décimale, premiers ou puissances de nombre premier, inférieurs à 100.

Ces critères sont exposés sans démonstration. Pour les démonstrations ou les méthodes ayant permis d'établir ces critères, voir l'article « Critère de divisibilité ».

Cascade la divisibilité par un nombre composé dont on connaît la décomposition en produit de facteurs premiers n = p ₁ ^{thousand _ane}…p_r ^k_r , il suffit d'appliquer la règle générale : united nations nombre est divisible par n si et seulement s'il est divisible par chacun des p_i ^g_i . Par exemple : united nations nombre est divisible par 12 si et seulement s'il est divisible par 3 et par 4.

Dans tout cet article, un entier naturel de n + 1 chiffres est représenté par a_{due north}…a ₁ a ₀ , où a ₀ est le chiffre des unités, a ₁ des dizaines, a _two des centaines,etc.

Critère de divisibilité par 2, 5 ou ten élevés à une puissance northward [modifier | modifier le code]

Tout nombre entier est divisible par i.

Critère de divisibilité par 2^northward [modifier | modifier le lawmaking]

United nations nombre est divisible par 2^north si et seulement si ses n derniers chiffres forment un nombre divisible par ii^northward.

Exemples: Un nombre est divisible par 16 = 2⁴ si et seulement si le nombre formé par ses iv derniers chiffres est divisible par 16.; Un nombre est divisible par 32 = 2^v si et seulement si le nombre formé par ses v derniers chiffres est divisible par 32.; Awarding : 87 753 216 864 est divisible par 32 auto 16 864 est divisible par 32.

Critère de divisibilité par 5ⁿ [modifier | modifier le code]

United nations nombre est divisible par 5^northward si et seulement si ses n derniers chiffres forment united nations nombre divisible par 5ⁿ.

Exemples: Un nombre est divisible par 25 = five² si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 25, c'est-à-dire si son écriture « se termine » par 00, 25, 50 ou 75.; Application : 258 975 est divisible par 25 car il se termine par 75.; 257 543 625 est divisible par v³ = 125 automobile 625 est divisible par 125.

Critère de divisibilité par 10ⁿ [modifier | modifier le code]

Cascade due north non nul, un nombre est divisible par tenⁿ si et seulement si ses n derniers chiffres sont égaux à 0.

Exemple: 652 500 000 est divisible par 10⁵ car ses five derniers chiffres sont des 0.; 652 50 est divisible par ten^one car son dernier chiffre est un 0.

Entiers inférieurs à ten [modifier | modifier le code]

Divisibilité par :	Énoncé du critère :	Exemple :
2	Un nombre est pair, c'est-à-dire divisible par 2 = ii^one, si et seulement si son chiffre des unités est 0, ii, 4, 6 ou eight.	168 est pair machine il se termine par 8 qui est pair.
3	Un nombre est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par iii. (Par récurrence, cela implique que son résidu est three, 6, ou 9.)	168 est divisible par 3 car 1 + 6 + 8 = 15, 1 + 5 = 6 et half-dozen est divisible par iii.
4	Un nombre est divisible par four = 2² si et seulement si 2a ₁ + a ₀ est divisible par four.	two 548 est divisible par 4 car ii × 4 + 8 = 16 qui est divisible par 4.
v	United nations nombre est divisible par v = five¹ si et seulement si son chiffre des unités est 0 ou 5.	235 est divisible par 5 car il se termine par 5.
six	United nations nombre est divisible par 6 si et seulement due south'il est divisible par ii et par three.	168 est divisible par 6, car il est pair et divisible par 3.
7	a_n…a ₁ a ₀ est divisible par 7 si et seulement si a_{due north}…a ₁ – twoa ₀ l'est (pour d'autres critères, voir section suivante).	182 est divisible par vii car eighteen – 2 × ii = 14 l'est.
8	Un nombre est divisible par 8 = 2³ si et seulement si 4a _two + twoa ₁ + a ₀ est divisible par 8.	636 136 est divisible par 8 car 4 × 1 + 2 × 3 + 6 = 16 qui est divisible par viii.
9	United nations nombre est divisible par nine si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par ix.	423 est divisible par 9 car iv + 2 + three = 9 l'est.
10	Un nombre est divisible par 10 = x¹ si et seulement si son chiffre des unités est 0.	270 est divisible par 10 machine il se termine par 0.

Critères de divisibilité par 7 [modifier | modifier le code]

Lemmes de divisibilité par 7 [modifier | modifier le code]

Première méthode : United nations nombre est divisible par 7 si et seulement si la somme de son nombre de dizaines et de cinq fois son chiffre des unités 50'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 56 (= 7 × 8). Le nombre est divisible par 7 si et seulement si le résultat final l'est.

Exemple: 17 381 est divisible par 7 automobile; 1738 + 5 × one = 1743,; 174 + v × three = 189,; 18 + 5 × nine = 63 et; 6 + five × 3 = 21 = seven × 3.

Deuxième méthode : Un nombre est divisible par 7 si et seulement si la différence entre son nombre de dizaines et le double de son chiffre des unités l'est. Si cette différence est négative, on peut la remplacer par sa valeur absolue. En répétant cette transformation jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à fourteen, le nombre de départ est divisible par 7 si et seulement si le résultat terminal est 0 ou 7.

Exemple: 17 381 est divisible par vii machine; 1738 – 2 × 1 = 1736,; 173 – 2 × 6 = 161,; 16 – 2 × i = 14 et; |ane – 2 × 4| = 7.

Critère cascade un grand nombre [modifier | modifier le code]

Une méthode, basée seulement sur le fait que 10ⁱⁱⁱ est congru à –1 modulo vii, est de séparer ce nombre par tranches de iii chiffres en partant des unités et d'insérer alternativement des – et des + entre les tranches. On effectue fifty'opération ainsi écrite et ce résultat est divisible par vii si et seulement si le nombre de départ 50'était.

Exemple

Soit le nombre five 527 579 818 992.

On le sépare par tranches de trois chiffres à partir des unités :

5 | 527 | 579 | 818 | 992.

On intercale alternativement des – et des + :

5 – 527 + 579 – 818 + 992.

On effectue l'opération ainsi écrite :

5 – 527 + 579 – 818 + 992 = 231.

On regarde si 231 est divisible à l'aide du lemme de divisibilité par vii :

23 + five × 1 = 28 est divisible par 7 donc v 527 579 818 992 50'est.

Comme 1001 est le produit de 7, xi et 13, la même méthode due south'applique pour 11 et 13.

Méthode de Toja [modifier | modifier le lawmaking]

Cette méthode est basée sur le fait que ten³ est congru à –i modulo 7, dont on déduit que

{\rm {si}}\quad x=100^{m}b_{m}+\ldots +100^{two}b_{two}+100b_{1}+b_{0}\quad {\rm {et}}\quad y=x^{m}b_{0}-ten^{m-one}b_{1}+10^{g-ii}b_{2}\ldots +(-ane)^{m}b_{m}

{\rm {alors}}\quad ten^{m}x\equiv y{\pmod {7}}

donc x est divisible par 7 si et seulement si y fifty'est. On peut bien sûr remplacer au passage chaque b_i par north'importe quel entier qui lui est congru modulo 7. Le principe^[1] est donc de découper le nombre x par tranches de 2 chiffres et chercher la distance entre chaque nombre de 2 chiffres et le multiple de 7 le plus proche (alternativement par excès et par défaut).

Exemple

Soit le nombre 5 527 579 818 992.

On le sépare par tranches de deux chiffres à partir des unités :

5|52|75|79|81|89|92.

À partir de la droite, le multiple de 7 le plus proche par défaut est 91 : altitude 92 – 91 = ane.
Pour la deuxième paire, le multiple de 7 le plus proche par excès est 91 : altitude 91 – 89 = ii.
Pour la troisième paire, le multiple de 7 le plus proche par défaut est 77 : distance 81 – 77 = iv
Pour la quatrième paire, distance : 84 – 79 = v,etc.

Le nombre de départ est multiple de 7 si et seulement si

1|2|iv|v|5|iv|5

est multiple de vii (les différents « restes » sont écrits dans l'ordre changed).

On trouve de même que la divisibilité par 7 de i 245 545 équivaut à celle de 3 136, puis de 14, donc 5 527 579 818 992 est divisible par 7.

Méthode rapide [modifier | modifier le code]

Comme dans le calcul du nombre modulo 7 par la méthode de Toja, on va regrouper les chiffres par groupe de 2, en partant de la droite. Ici on va utiliser le fait que 100 vaut 2 modulo 7.

La première étape, valable d'ailleurs pour toutes les méthodes, consiste à remplacer tous les chiffres par leur valeur modulo vii. Autrement dit à remplacer le 7 par 0, le 8 par 1, le 9 par 2.

Soit le nombre v 527 579 818 992.

On le remplace par 5 520 502 111 222.

Dans la deuxième étape on regroupe les chiffres par 2 pour créer des nombres de 0 à 66.

5|52|05|02|11|12|22.

On les calcule modulo 7

5|3|five|two|four|5|1.

C'est 50'écriture du nombre base two, avec des chiffres de 0 à 6. On va utiliser la méthode de Horner : on dépile le chiffre le plus à gauche que l'on ajoute au nombre en cours (0 au départ) et on multiplie par ii.

5\cdot 2+three\rightarrow three+three\rightarrow half-dozen

6\cdot 2+5\rightarrow v+5\rightarrow 10\rightarrow 3

3\cdot ii+ii\rightarrow eight\rightarrow 1

one\cdot 2+4\rightarrow 6

6\cdot 2+5\rightarrow v+v\rightarrow 10\rightarrow 3

three\cdot 2+one\rightarrow 7\rightarrow 0

Chaque ligne de calcul se fait aisément de tête, et chaque résultat intermédiaire peut être inscrit sur une seconde ligne :

v|iii|v|2|4|5|i

5|6|three|1|half dozen|3|0

On obtient 0, le nombre est divisible par 7.

Utilisation d'un diagramme [modifier | modifier le code]

Cette technique^[2] s'appuie sur 50'écriture du nombre en base 10 et sur les congruences modulo 7. 50'utilisation d'united nations diagramme est proposée en 2009 par David Wilson^[iii] ^, ^[4]. Sur un cercle, on dispose tous les nombres de 0 à vi, c'est-à-dire tous les restes possibles modulo vii. On relie ensuite par une flèche chaque reste r avec le reste modulo vii de r ×10.

Le diagramme s'utilise alors de la manière suivante : pour l'entier a_north…a _ane a ₀ , égal à $(\dots((a northward \times 10 + a due north -1) \times ten + a n -2) \times 10 + \dots) \times 10 + a 0$ ,

on se place sur la case 0 et l'on se déplace sur le cercle de a_n cases. On obtient ainsi le reste de a_n modulo seven ;
on emprunte alors la flèche qui part de la case où fifty'on se trouve et, à partir du point d'arrivée de la flèche, on se déplace sur le cercle de a _north–1 cases. On obtient ainsi le reste de a_{due north} × 10 + a _{northward–1} modulo 7 ;
on recommence alors le processus (emprunt d'une flèche, puis déplacement sur le cercle) jusqu'à a ₀. On obtient alors le reste modulo 7 de $(\dots((a n \times 10 + a n -one) \times 10 + a due north -2) \times 10 + \dots) \times ten + a 0$ .

Le nombre est divisible par 7 si et seulement si la case d'arrivée est la example 0.

Diagramme de divisibilité par seven.

Exemple

Pour le nombre 17381.

On passe de 0 à one.
On emprunte la flèche qui mène de 1 à 3 et l'on se déplace de 7 cases (i. e. on reste sur place). On se trouve en 3.
On emprunte la flèche qui mène de 3 à two et l'on se déplace de 3 cases. On se trouve en 5.
On emprunte la flèche qui mène de v à 1 et fifty'on se déplace de 8 cases (i. e. on se déplace d'une instance). On se trouve en two.
On emprunte la flèche qui mène de ii à vi et l'on se déplace d'une case. On se trouve en 0. Le nombre est bien divisible par 7.

Remarque : cette méthode peut se généraliser à toute autre divisibilité par d et à toute autre base b en construisant le diagramme adapté (les nombres de 0 à d – 1 sur le cercle, des flèches reliant r au reste modulo d de r × b).

Critère de divisibilité par 11 [modifier | modifier le code]

Première méthode [modifier | modifier le code]

Cascade déterminer si un nombre North est divisible par 11 :

on calcule la somme A des chiffres en position impaire ;
on calcule la somme B des chiffres en position paire ;

N est divisible par 11 si et seulement si la différence A – B (ou B – A) est divisible par 11.

Cela revient à effectuer la somme alternée de ses chiffres.

Exemple [modifier | modifier le code]

Considérons le nombre nineteen 382.

A = 1 + iii + two = 6

B = 9 + viii = 17

B – A = 17 – 6 = xi est divisible par 11 donc 19 382 fifty'est aussi.

On peut également effectuer le calcul : 1 – ix + 3 – eight + 2 = –11.

« Mini-critère » [modifier | modifier le code]

Un nombre de trois chiffres est divisible par xi si et seulement si la somme des deux chiffres extrêmes est égale au chiffre du milieu (a ₂ + a ₀ = a ₁) ou à eleven plus le chiffre du milieu (a ₂ + a ₀ = 11 + a _one).

Exemples: 374 est divisible par eleven parce que 3 + four = 7. Vérification : 374 = 11 × 34.; 825 est divisible par 11 parce que 8 + 5 = 11 + 2. Vérification : 825 = xi × 75.

Deuxième méthode [modifier | modifier le lawmaking]

On sépare le nombre par tranches de deux chiffres à partir des unités en intercalant des + et 50'on effectue l'opération obtenue. Le résultat est divisible par 11 si et seulement si le nombre de départ fifty'était.

Exemple: Reprenons l'exemple précédent xix 382 ; on obtient :; 1 + 93 + 82 = 176.; Comme le résultat a plus de deux chiffres, on recommence :; ane + 76 = 77.; 77 est divisible par 11 donc 19 382 fifty'est aussi.

Troisième méthode [modifier | modifier le lawmaking]

Un nombre est divisible par 11 si et seulement si la différence entre son nombre de dizaines et son chiffre des unités est divisible par 11.

Exemples [modifier | modifier le code]

3432 est divisible par 11 car 343-2 = 341, 34-one = 33 et 33 est divisible par 11.

73108 n'est pas divisible par 11 car 7310 - 8 = 7302, 730-2 = 728, 72 - eight = 64 et 64 n'est pas united nations multiple de eleven.

Démonstration

Soit due north un entier naturel alors northward s'écrit de manière unique n = ten a + b où a est le nombre de dizaine et b le chiffre des unités.

due north = 11a + b - a et donc northward congru à 0 modulo 11 est équivalent à b - a congru à 0 modulo 11.

Critère de divisibilité par 13 [modifier | modifier le code]

Le critère de divisibilité par 13 [modifier | modifier le code]

Le nombre a_{due north}…a _one a ₀ est divisible par 13 si et seulement si a_north…a _one + 4a ₀ fifty'est. Cascade voir si united nations nombre est divisible par 13, il suffit de répéter cette transformation jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à 52 (= 4 × 13). Le nombre de départ est divisible par 13 si et seulement si le résultat final est thirteen, 26 ou 39.

Exemples

312 est divisible par 13 car 31 + iv × 2 = 39.
1 664 est divisible par 13 automobile 166 + iv × 4 = 182 et 18 + iv × 2 = 26.

Critère pour un grand nombre [modifier | modifier le code]

Pour savoir si un grand nombre est divisible par 13, il suffit, puisque x³ est congru à –i modulo 13 comme modulo vii, d'appliquer la même réduction que dans le deuxième des trois critères ci-dessus de divisibilité par 7 : séparer ce nombre par tranches de 3 chiffres en partant des unités et insérer alternativement des – et des + entre les tranches.

On effectue fifty'opération ainsi écrite et le résultat est divisible par 13 si et seulement si le grand nombre considéré l'était.

Exemple: Soit le nombre 1 633 123 612 311 854.; On le sépare par tranches de trois à partir des unités :; 1 | 633 | 123 | 612 | 311 | 854.; On intercale alternativement des – et des + :; i – 633 + 123 – 612 + 311 – 854.; On effectue fifty'opération ainsi écrite :; 1 – 633 + 123 – 612 + 311 – 854 = –1 664.; Le résultat est négatif, mais on peut prendre sa valeur absolue 1 664 et continuer.; D'après l'exemple précédent, 1 664 est divisible par 13 donc 1 633 123 612 311 854 l'est aussi.

Critère de divisibilité par 17 [modifier | modifier le code]

United nations nombre a_n…a _one a ₀ est divisible par 17 si et seulement si a_{due north}…a _ane – fivea ₀ (ou sa valeur absolue) fifty'est. Pour voir si un nombre est divisible par 17, il suffit de répéter cette transformation jusqu'à obtenir united nations résultat strictement inférieur à 51 = (3 × 17). Le nombre de départ est divisible par 17 si et seulement si le résultat final est 0, 17 ou 34.

Exemples

3 723 est divisible par 17 auto 372 – v × iii = 357 et 35 – 5 × seven = 0.
5 933 est divisible par 17 car 593 – 5 × 3 = 578 et 57 – 5 × 8 = 17.

Critère de divisibilité par 19 [modifier | modifier le code]

Le nombre a_n…a ₁ a ₀ est divisible par 19 si et seulement si a_n…a _i + 2a ₀ l'est. Pour voir si un nombre est divisible par 19, il suffit de répéter cette transformation jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à 38 (= ii × 19). Le nombre de départ est divisible par 19 si et seulement si le résultat last est xix.

Exemple: vi 859 est divisible par nineteen car 685 + 2 × ix = 703, 70 + 2 × 3 = 76 et seven + 2 × 6 = 19.

Critère de divisibilité par 21 [modifier | modifier le lawmaking]

Critère immédiat [modifier | modifier le code]

Un nombre est divisible par 21 si et seulement s'il est divisible par 7 et par 3.

Lemme de divisibilité par 21 [modifier | modifier le code]

Le nombre a_{due north}…a ₁ a ₀ est divisible par 21 si et seulement si a_n…a ₁ – 2a ₀ (ou sa valeur absolue) l'est. Cette transformation est la même que la première indiquée pour la divisibilité par 7 (§ « Entiers inférieurs à 10 »). Pour voir si un nombre est divisible par 21, il suffit de la répéter jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à 21. Le nombre de départ est divisible par 21 si et seulement si le résultat final est 0.

Exemple: 5 271 est divisible par 21 car; 527 – 2 × 1 = v 25,; 52 – 2 × 5 = 42 et; iv – 2 × 2 = 0.

Critère pour un k nombre [modifier | modifier le lawmaking]

Même méthode que plus loin pour 27 mais par tranches de half-dozen chiffres (voir le § « Critère de divisibilité par un facteur de 10^north ± ane » ci-dessous).

Critère de divisibilité par 23 [modifier | modifier le code]

Première méthode [modifier | modifier le code]

Le nombre a_n…a ₁ a ₀ est divisible par 23 si et seulement si a_n…a ₁ + sevena ₀ 50'est. Cascade voir si un nombre est divisible par 23, il suffit de répéter cette transformation jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à 92 (= 4 × 23). Le nombre de départ est divisible par 23 si et seulement si le résultat final est 23, 46 ou 69.

Exemple: 3 151 est divisible par 23 car 315 + 7 × 1 = 322 et 32 + seven × ii = 46.

Deuxième méthode [modifier | modifier le code]

Le nombre a_{due north}…a ₁ a ₀ est divisible par 23 si et seulement si a_north…a ₂ + 3 a ₁ a ₀ 50'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 322 (= 23 × 14). Le nombre est divisible par 23 si et seulement si le résultat concluding l'est.

Exemple: Reprenons l'exemple précédent : 3 151 est divisible par 23 auto 31 + 3 × 51 = 184 et 184 = eight × 23.

Critère de divisibilité par 27 [modifier | modifier le code]

Pour savoir si un nombre est divisible par 27, on le sépare par tranches de 3 chiffres à partir des unités en intercalant des +. On effectue 50'opération obtenue. Le résultat est divisible par 27 si et seulement si le nombre considéré au départ l'était.

Exemple: Soit le nombre 68 748 098 828 632 988 661.; On effectue 50'opération :; 68 + 748 + 098 + 828 + 632 + 988 + 661 = 4 023.; Le résultat ayant plus de 3 chiffres, on peut recommencer :; 4 + 023 = 27 qui est divisible par 27, donc 68 748 098 828 632 988 661 fifty'est aussi.

Critère de divisibilité par 29 [modifier | modifier le code]

Le nombre a_n…a ₁ a ₀ est divisible par 29 si et seulement si a_n…a ₁ + 3a ₀ 50'est. Pour voir si united nations nombre est divisible par 29 il suffit de répéter cette transformation jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à 58 (= ii × 29). Le nombre de départ est divisible par 29 si et seulement si le résultat final est 29.

Exemple: 75 168 est divisible par 29 car; vii 516 + 3 × 8 = 7 540,; 754 + iii × 0 = 754,; 75 + 3 × four = 87 et; viii + 3 × seven = 29.

Critère de divisibilité par 31 [modifier | modifier le code]

Le nombre a_n…a _one a ₀ est divisible par 31 si et seulement si a_n…a _ane – iiia ₀ (ou sa valeur absolue) fifty'est. Pour voir si un nombre est divisible par 31, il suffit de répéter cette transformation jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à 31. Le nombre de départ est divisible par 31 si et seulement si le résultat final est 0.

Exemple: 15 996 est divisible par 31 motorcar; 1 599 – iii × half-dozen = 1 581,; 158 – 3 × i = 155 et; fifteen – 3 × 5 = 0.

Critère de divisibilité par 37 [modifier | modifier le code]

Même méthode que pour 27 (voir le § « Critère de divisibilité par un facteur de xⁿ ± 1 » ci-dessous).

Si le nombre est un nombre à trois chiffres abc, on retranche le plus petit des chiffres pour faire apparaître un ou plusieurs zéros. Si ce nombre contient deux zéros, le nombre de départ n'est pas divisible par 37; si ce nombre vaut 0, le nombre de départ est divisible par 37. Sinon, ce nombre contient un seul zéro, que fifty'on enlève pour obtenir un nombre à 2 chiffres. Si le 0 était en position centrale, il faut cependant retourner ce nombre. Le nombre de départ était divisible par 37 si et seulement si le nombre à deux chiffres l'est (et vaut donc 37 ou 74).

Exemple: 925 est divisible par 37 automobile; le plus petit chiffre est 2, on le retranche à chaque chiffre :; 925 - 222 = 703, le 0 est central, on retourne le nombre; on obtient 307 et on supprime le 0; le résultat 37 est divisible par 37.

On peut aussi utiliser le critère général de divisibilité : le nombre a_n…a _one a ₀ est divisible par 37 si et seulement si a_n…a ₁ -11a ₀ fifty'est. Pour voir si un nombre est divisible par 37, il suffit de répéter cette transformation. Le nombre de départ est divisible par 37 si et seulement si le reste est un multiple de 37

Exemple: 19 388 est divisible par 37 machine; 1938-eight×11=1850; 185-0×eleven=185 = 37×5

Critère de divisibilité par 39 [modifier | modifier le code]

Critère immédiat [modifier | modifier le code]

Un nombre est divisible par 39 si et seulement s'il est divisible par thirteen et par 3.

Lemme de divisibilité par 39 [modifier | modifier le code]

Le nombre a_n…a _one a ₀ est divisible par 39 si et seulement si a_north…a ₁ + 4a ₀ l'est. Cette transformation est la même que celle pour la divisibilité par 13. Pour voir si un nombre est divisible par 39, il suffit de la répéter jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à 78 (= 2 × 39). Le nombre de départ est divisible par 39 si et seulement si le résultat final est 39.

Exemple: 4 992 est divisible par 39 automobile; 499 + four × ii = 507,; fifty + 4 × seven = 78 et; 7 + four × viii = 39

Critère cascade united nations g nombre [modifier | modifier le code]

Même méthode que pour 27 mais par tranches de 6 chiffres (voir le § « Critère de divisibilité par un facteur de 10ⁿ ± one » ci-dessous).

Critère de divisibilité par 41 [modifier | modifier le code]

Lemme de divisibilité par 41 [modifier | modifier le code]

Le nombre a_n…a ₁ a ₀ est divisible par 41 si et seulement si a_northward…a ₁ – 4a ₀ (ou sa valeur absolue) 50'est. Cascade voir si united nations nombre est divisible par 41, il suffit de répéter cette transformation jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à 41. Le nombre de départ est divisible par 41 si et seulement si le résultat final est 0.

Exemple: viii 036 est divisible par 41 automobile; 803 – iv × 6 = 779,; 77 – 4 × 9 = 41 et; 4 – four × 1 = 0.

Critère pour un grand nombre [modifier | modifier le lawmaking]

Même méthode que cascade 27 mais par tranches de five chiffres (voir le § « Critère de divisibilité par un facteur de 10ⁿ ± 1 » ci-dessous).

Critère de divisibilité par 43 [modifier | modifier le code]

Le nombre a_n…a ₁ a ₀ est divisible par 43 si et seulement si a_{due north}…a ₂ – 3 a _i a ₀ (ou sa valeur absolue) l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 215 (= 43 × 5). Le nombre est divisible par 43 si et seulement si le résultat final l'est.

Exemple: 173 161 est divisible par 43 car 1731 – iii × 61 = i 548 et |15 – 48 × 3| = 129 = 43 × iii.

Critère de divisibilité par 47 [modifier | modifier le code]

Le nombre a_north…a _i a ₀ est divisible par 47 si et seulement si a_n…a ₂ + eight a _one a ₀ fifty'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 846 (= 47 × 18). Le nombre est divisible par 47 si et seulement si le résultat final 50'est.

Exemple: 143 597 n'est pas divisible par 47 car ane 435 + 8 × 97 = ii 211 et 22 + 8 × 11 = 110 = 2 × 47 + sixteen.

Critère de divisibilité par 49 [modifier | modifier le code]

Le nombre a_{due north}…a _one a ₀ est divisible par 49 si et seulement si la somme a_{due north}…a ₁ + 5a ₀ l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 98 (= two × 49). Le nombre est divisible par 49 si et seulement si le résultat terminal est 49.

Exemple

478515625 est divisible par 49 automobile

47851562 + five × 5 = 47851587,

4785158 + 5 × 7 = 4785193,

478519 + 5 × three = 478534,

47853 + 5 × 4 = 47873,

4787 + 5 × iii = 4802,

480 + five × two = 490 et

49 + 5 × 0 = 49.

Critère de divisibilité par 53 [modifier | modifier le code]

Le nombre a_n…a ₁ a ₀ est divisible par 53 si et seulement si a_n…a ₂ – 9 a ₁ a ₀ (ou sa valeur absolue) fifty'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 800. On passe ensuite au second critère de divisibilité : le nombre a_n…a ₁ a ₀ est divisible par 53 si et seulement si a_n…a ₁ +16 a ₀ l'est. Il suffit de répéter cette transformation jusqu'à obtenir united nations résultat strictement inférieur à 212 (= iv × 53). Le nombre de départ est divisible par 53 si et seulement si le résultat final est 53, 106 ou 159.

Exemple: 132 023 est divisible par 53 car 1 320 – 9 × 23 = 1 113 et |xi – 9 × 13| = 106 = 2 × 53.

Critère de divisibilité par 59 [modifier | modifier le code]

Le nombre a_northward…a ₁ a ₀ est divisible par 59 si et seulement si a_n…a ₁ + 6a ₀ l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 118 (= ii × 59). Le nombre est divisible par 59 si et seulement si le résultat final est 59.

Exemple: one 185 due north'est pas divisible par 59 motorcar 118 + six × 5 = 148 et 14 + 6 × viii = 62.

Critère de divisibilité par 61 [modifier | modifier le code]

Le nombre a_northward…a ₁ a ₀ est divisible par 61 si est seulement si a_n…a _ane – half dozena ₀ (ou sa valeur absolue) l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 61. Le nombre est divisible par 61 si et seulement si résultat final est 0.

Exemple: 5 623 n'est pas divisible par 61 car 562 – 6 × 3 = 544 et 54 – six × four = xxx.

Critère de divisibilité par 67 [modifier | modifier le lawmaking]

Un nombre a_n…a _ane a ₀ est divisible par 67 si et seulement si a_northward…a ₂ – 2 a _one a ₀ (ou sa valeur absolue) l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 134 (= 2 × 67). Le nombre est divisible par 67 si et seulement si le résultat final est 0 ou 67.

Exemple: 135 541 est divisible par 67 motorcar; 1 355 – 41 × ii = one 273,; |12 – 73 × ii| = 134 et; |1 – 34 × 2| = 67.

Critère de divisibilité par 71 [modifier | modifier le lawmaking]

Le nombre a_northward…a ₁ a ₀ est divisible par 71 si et seulement si a_n…a _one – 7a ₀ l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 71. Le nombre est divisible par 71 si et seulement si le résultat final est 0.

Exemple : 27 253 n'est pas divisible par 71 car

2 725 – vii × 3 = 2 704,

270 – seven × four = 242 et

24 – 7 × 2 = ten.

Critère de divisibilité par 73 [modifier | modifier le code]

Même méthode que pour 13 mais par tranches de 4 chiffres (voir le § « Critère de divisibilité par un facteur de 10ⁿ ± 1 » ci-dessous).

Critère de divisibilité par 79 [modifier | modifier le code]

Le nombre a_n…a _one a ₀ est divisible par 79 si et seulement si a_{due north}…a _i + viiia ₀ l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 158 (= two × 79). Le nombre est divisible par 79 si et seulement si le résultat concluding est 79.

Exemple: 21 804 est divisible par 79 auto; 2 180 + 8 × 4 = 2 212,; 221 + 8 × 2 = 237 et; 23 + eight × 7 = 79.

Critère de divisibilité par 83 [modifier | modifier le code]

Le nombre a_northward…a _one a ₀ est divisible par 83 si et seulement si a_n…a ₁ + 25a ₀ l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 332 (= 83 × 4). Le nombre est divisible par 83 si et seulement si le résultat final est 83, 166 ou 249.

Exemple

11537 est divisible par 83 car 1153 + seven × 25 = 1328 et 132 + 8 × 25 = 332 et 33 + 2 × 25 = 83.

Critère de divisibilité par 89 [modifier | modifier le code]

Le nombre a_n…a ₁ a ₀ est divisible par 89 si et seulement si a_n…a ₁ + ninea ₀ l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 178 (= 89 × 2). Le nombre est divisible par 89 si et seulement si le résultat final est 89.

Exemple : 7921 est divisible par 89 car 792 + 9 × 1 = 801 et eighty + 9 × 1 = 89.

Critère de divisibilité par 97 [modifier | modifier le code]

Le nombre a_north…a _ane a ₀ est divisible par 97 si et seulement si | a_n…a _ane – 29a ₀| 50'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 291 (= 3 × 97). Le nombre est divisible par 97 si et seulement si le résultat final est 0, 97 ou 194.

Exemple

46 657 est divisible par 97 machine

iv 665 – 29 × seven = 4 462,

446 – 29 × two = 388 et

|38 – 29 × 8| = 194.

Méthode du ruban de Pascal [modifier | modifier le code]

Cette méthode (voir l'article détaillé) permet de tester la divisibilité d'united nations nombre N, généralement écrit en base of operations dix, par n'importe quel entier d. Le principe est de remplacer, dans le nombre Due north = a_north 10^{due north} + … + a ₁x + a ₀, chaque puissance de 10 par son reste r dans la division euclidienne par d (on peut aussi prendre r – d au lieu de r).

Exemples

Pour d = vii, on peut remplacer 1, ten, 100,etc. par 1, 3, 2, −1, −3, −2, 1, iii, 2, −1, −3, −ii,etc. (suite périodique) : on dit qu'une clé de divisibilité par vii en base dix est (1, 3, 2, −1, −3, −2). Le nombre N = a_n…a _ane a ₀ est divisible par seven si et seulement si le nombre suivant l'est :
a ₀ + threea _ane + twoa _two − a ₃ − threea ₄ − twoa ₅ + a _vi + 3a ₇ + twoa _eight − a _ix… = A + 3B + 2C, avec
A = a ₀ – a _iii + a ₆ – a ₉…, B = a _ane – a ₄ + a ₇ – a _ten… et C = a ₂ – a ₅ + a _eight – a ₁₁…
Pour d = thirteen, une clé de divisibilité en base dix est (1, –three, – iv, −one, 3, four) donc a_{due north}…a _i a ₀ est divisible par 13 si et seulement si le nombre suivant l'est :
a ₀ – 3a _one – 4a ₂ − a ₃ + 3a ₄ + iva ₅ + a ₆ – 3a _vii – 4a ₈ − a _nine… = A – iiiB – 4C, avec
A = a ₀ – a _three + a ₆ – a ₉…, B = a _ane – a ₄ + a ₇ – a _ten… et C = a _ii – a ₅ + a ₈ – a ₁₁…

Critère de divisibilité par un facteur de 10^{due north} ± ane [modifier | modifier le lawmaking]

Dans la méthode du ruban, pour certains d, la clé de divisibilité est plus simple lorsqu'on considère N comme écrit en base 10^north pour un n bien choisi. En particulier, la clé de divisibilité en base x^north sera (1, −1) si d est un diviseur de tenⁿ + one, et elle sera simplement (1) si d est united nations diviseur de ten^north – ane. On en a vu des exemples pour la divisibilité par 11 (facteur de x¹ + 1 et de 10² – i) et (cascade un « one thousand » nombre) par 7 ou thirteen (facteurs de 10ⁱⁱⁱ + 1) ou par 27 (facteur de ten³ – 1). En résumé :

Si d est un diviseur de 10ⁿ + ane, pour savoir si united nations grand nombre est divisible par d, il suffit de séparer ce nombre par tranches de n chiffres en partant des unités et d'insérer alternativement des – et des + entre les tranches. On effectue l'opération ainsi écrite et le résultat est divisible par d si et seulement si le nombre considéré au départ l'était. On répète cette transformation autant que faire se peut.

Exemples

Somme alternée de tranches
Divisibilité par	eleven	101	7	thirteen	77	91	143	73	137	17	19	133	23	121
Tranches de taille	1	2	3					4		8	nine		11

Si d est un diviseur de tenⁿ – 1 (ce qui est vrai pour n'importe quel due north si d = 3 ou nine), même principe mais en n'insérant que des + entre les tranches.

Exemples

Somme elementary de tranches
Divisibilité par	11	33	99	27	37	111	41	123	21	39	63	117	81	53	79	31
Tranches de taille	2			3			5		6				9	13		15

Notes et références [modifier | modifier le lawmaking]

↑ (en) Gustavo Gerald Toja Frachia, « Cursory method for determining if a number is divisible by vii » (version du 26 avril 2007 sur l'Net Archive).
↑ Le principe sur un exemple est détaillé dans (en) Boris A. Kordemsky(en), The Moscow Puzzles: 359 Mathematical Recreations, Dover Publications, 2014 (1^re éd. 1971), p. 140, aperçu sur Google Livres.
↑ (en) David Wilson, «Divisibility by 7 is a Walk on a Graph », sur Tanya Khovanova's Math Web log, 11 aout 2009 (consulté le 7 février 2016) .
↑ (en) David Wilson, «Divisibility past 7 is a Walk on a Graph. II », sur Tanya Khovanova'south Math Blog, 11 aout 2010 (consulté le 7 février 2016) .

Arithmétique et théorie des nombres